v2 zatem3: s2 = i(x-x)2 (1510) N Innymi s�owy, od ka�dego wyniku odejmujemy �redni� arytmetyczn�, otrzymane r�nice podnosimy do kwadratu i dzielimy przez og�ln� liczb�...

Alleluja! W samą porę dwa debile zorientowały się, że są dla siebie stworzeni!

Przedstawiony w tabeli 15.15 przyk�ad liczbowy pokazuje kolejne kroki niezb�dne do obliczenia wariancji. Po zastosowaniu r�wnania (15.10) do tych danych otrzymamy: , 200 s2 = �- = 40. 2 Na przyk�ad �rednia z nast�puj�cych warto�ci 2, 4, 6 i 8 wynosi 5. Je�eli od ka�dej warto�ci odejmiemy 5, to otrzymamy �3, �1, 1 i 3. Suma wszystkich tych r�nic �(�3) + (�1)+ 1 +3 � wynosi zero. 1 Przedstawione w tym rozdziale wzory na odchylenie standardowe i wariancj� to wzory pozwalaj�ce obliczy� te parametry w populacji. Odpowiednie wzory dla pr�by maj� w mianowniku (N� 1), zamiast N. 391 Aby obliczy� wariancj�, warto skorzysta� z wzoru wygodniejszego od wzoru definicyjnego. W�wczas kwadrat �redniej arytmetycznej odejmujemy od sumy kwadrat�w wszystkich wynik�w podzielonej przez liczb� obserwacji, czyli: s = ^r - OO2. (15.11) Stosuj�c r�wnanie (15.11) do tych samym danych z tabeli 15.15, otrzymamy , 605 s2 = �- - (9)2 = 121 - 81 = 40. Wariancja wyra�a przeci�tne odchylenie wynik�w w rozk�adzie nie w oryginalnych jednostkach, lecz w jednostkach podniesionych do kwadratu. Mo�emy rozwi�za� ten problem, wyprowadzaj�c pierwiastek kwadratowy z wariancji, a zatem przekszta�caj�c wariancj� w odchylenie standardowe. Odchylenie standardowe jest miar� rozproszenia wyra�on� w oryginalnych jednostkach. Mo�emy je wyrazi� za pomoc� r�wnania (15.12) i (15.13), kt�re odpowiadaj� r�wnaniom (15.10) i (15.11): s = I(X - Xf �^--------. (15.12) \EX gdzie s oznacza odchylenie standardowe. Dla naszego przyk�adu warto�� odchylenia standardowego obliczonego za pomoc� r�wnania (15.12) �/20� r� s = "Y------= V40 = 6>3- Dane w tabeli 15.15 przedstawiaj� nie pogrupowany rozk�ad cz�sto�ci zawieraj�cy po jednej liczebno�ci dla ka�dej warto�ci X. Je�eli dane w nie pogrupowanym rozk�adzie cz�sto�ci b�d� zawiera� wi�cej liczebno�ci dla kt�rej� lub dla wszystkich warto�ci zmiennej X, to obliczaj�c wariancj�, mo�emy si� pos�u�y� nast�puj�cym wzorem definicyjnym: 2 if(x-x)\ 2 ifx2 (ifxY s =-------------lub s � N N ffi- 392 Tabela 15.15. Obliczanie wariancji X X-X (X-X)2 X2 3 -6 36 9 4 -5 25 16 6 -3 9 36 12 3 9 144 20 11 121 400 Og�em 200 605 X = 9 Wariancja i odchylenie standardowe dla danych pogrupowanych Je�eli dane zosta�y pogrupowane, to do obliczenia wariancji i odchylenia standardowego musimy zastosowa� inne procedury. Do obliczenia wariancji mo�emy w�wczas wykorzysta� r�wnanie (15.14), w kt�rym X oznacza� b�dzie �rodek przedzia�u, a/odpowiadaj�ce mu liczebno�ci: s2 =________*L_ (15.14) N Wz�r ten zastosowali�my do danych z tabeli 15.16 i otrzymali�my: (136)2 18496 1094 -------- 1094---------- 20 20 1094-924,8 169,20 � � r =-------------------------------------=----------------=--------= 8,46. 20 20 20 20 Warto�� odchylenia standardowego otrzymamy, wyci�gaj�c pierwiastek kwadratowy z wariancji, czyli z warto�ci 8,46. Zatem s = ^8,46 = 2,91. Tabela 15.16. Rozk�ad wieku dla dwudziestu respondent�w �rodek przedzia�u Wiek X f X2 jX2 JX 1-3 2 4 4 16 8 4-6 5 3 25 75 15 7-9 8 10 64 640 80 10-12 11 3 121 363 33 Og�em 20 m2-- = 1094 2yx=136 393 Odchylenie standardowe � zalety i zastosowania Odchylenie standardowe � w por�wnaniu z innymi miarami rozproszenia � ma wiele zalet. Po pierwsze, jest najbardziej stabiln� miar� w pr�bie (problematyk� I pr�by om�wili�my w rozdziale 8). Po drugie, ma wa�ne w�a�ciwo�ci matematyczne I umo�liwiaj�ce obliczanie warto�ci odchylenia standardowego dla dw�ch lub wi�cej I po��czonych grup. Co wi�cej, w�a�ciwo�ci matematyczne odchylenia standardowe- I go sprawiaj�, �e jest to miara wykorzystywana w zaawansowanych obliczeniach I statystycznych, zw�aszcza w dziedzinie statystyki indukcyjnej (om�wionej w roz-1 dziale 8 i 19). Ilustracj� zastosowania odchylenia standardowego jest nast�puj�cy przyk�ad. I W tabeli 15.17 przedstawili�my dane por�wnawcze dotycz�ce odczuwanej satysfakcji I z �ycia przez mieszka�c�w r�nych pa�stw. Dane te zawieraj� informacje o �red-1 niej arytmetycznej i odchyleniu standardowym dla zmiennej �satysfakcja z �ycia", I obliczonych dla r�nych pa�stw. Uzyskane �rednie s� niemal identyczne, co mog�oby sugerowa�, �e w czterech krajach satysfakcja z �ycia jest podobna. Odchylenia I standardowe w poszczeg�lnych krajach s� jednak r�ne. W Anglii, Niemczech I i Stanach Zjednoczonych odchylenia standardowe s� stosunkowo ma�e, co �wiad- I czy o tym, �e pa�stwa te s� homogeniczne ze wzgl�du na stopie� odczuwanej satys- I fakcji. Innymi s�owy, osoby badane otrzymuj� wyniki bliskie �redniemu wynikowi w ich krajach. We W�oszech natomiast odchylenie standardowe jest wi�ksze, co I oznacza, �e odczuwany stopie� satysfakcji reprezentowany przez �redni� nie jest podzielany przez wszystkich W�och�w. Tabela 15.17. �rednie i odchylenia standardowe wska�nika satysfakcji z �ycia dla czterech zachodnich narodowo�ci (dane hipotetyczne) Wielka Brytania Niemcy W�ochy Stany Zjednoczone �rednia 6,7 6,7 6,6 6,5 Odchylenie standardowe 1,0 1,2 3,2 1,3 Wsp�czynnik zmienno�ci W przypadkach, w kt�rych por�wnywane rozk�ady maj� r�ne �rednie, nie mo�emy por�wnywa� absolutnych warto�ci odchyle� standardowych. Odchylenie standardowe r�wne na przyk�ad 2 oznacza co innego, gdy �rednia wynosi 6, ni� gdy �rednia r�wna si� 60. Dlatego nale�y obliczy� warto�� odchylenia standardowego w odniesieniu do �redniej rozk�adu